实分析第二章练习

2.2 加法

P21 - 证明两个自然数的和仍旧是自然数.

题设: 两个自然数$n,m$.
求证: $n+m$仍为自然数.
证明:
固定$m$.
1) 当$n=0$时
由公理$2.1$可知, $0$是自然数
$n+m=0+m=m$为自然数 (加法定义)
2) 假设$n+m$是自然数
下证$(n++)+m$是自然数
$(n++)+m=(n+m)++$ (加法定义)
$\because n+m$为自然数 (假设)
$\therefore (n+m)++也为自然数$ (公理$2.2$)
综上归纳递归, 原题得证.  $\square$

习题2.2.1 - 证明命题2.2.5.

命题2.2.5(加法是可结合的) 对任意三个自然数$a,b,c$, 有$(a+b)+c=a+(b+c)$成立.

题设: 三个自然数$a,b,c$.
求证: $(a+b)+c=a+(b+c)$.
证明:
固定$b,c$.
1) 当$a=0$时
$(a+b)+c=(0+b)+c=b+c$ (加法定义)
$a+(b+c)=0+(b+c)=b+c$ (加法定义)
$\therefore$ 此时$(a+b)+c=a+(b+c)$成立.
2) 假设$(a+b)+c=a+(b+c)$成立
下证$((a++)+b)+c=(a++)+(b+c)$成立
$((a++)+b)+c=((a+b)++)+c=((a+b)+c)++$ (加法定义)
$(a++)+(b+c)=(a+(b+c))++$ (加法定义)
$\because (a+b)+c=a+(b+c)$ (假设)
$\therefore ((a+b)+c)++=(a+(b+c))++$
综上归纳递归，原题得证.  $\square$

习题2.2.2 - 证明引理2.2.10.

引理2.2.10 令$a$表示一个正自然数, 那么恰存在一个自然数$b$使得$b++=a$

题设: 自然数$a$.
求证: 仅存在一个自然数$b$, 使得$b++=a$.
证明:
假设不存在或存在多个自然数b使得$b++=a$ (反证法)
1) 不存在$b$使$b++=a$
根据公理2.2
若$b$是自然数, 则$b++$也是自然数.
$\therefore$ 该$b$必存在.
2) 存在多个$b$使$b++=a$
设$b,c$为两个不相等的自然数
使$b++=a,c++=a$成立.
由公理2.4
若$b++=a=c++$
则$b=c$与设矛盾.
综上1) 2) 均不成立.
$\therefore$ 仅存在一个自然数$b$使得$b++=a$成立.
原题得证.  $\square$